Question

已知正方形ABCD的邊長為4，對角線AC與BD交于點O，將正方形ABCD沿對角線BD折成60°的二面角，A點變?yōu)锳′點．給出下列判斷：①A′C⊥BD；②A′D⊥CO；③△A′OC為正三角形；④cos∠A′DC=；⑤A′到平面BCD的距離為．其中正確判斷的個數(shù)為

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   5

Answer 1

C
分析：折起后A到A′，知∠A′OC即為二面角A′-BD-C的平面角，即∠A′OC=60°，且A′O=OC．△A′OC為正三角形；由BD⊥平面A′OC，知BD⊥A′C；在△A′DC中，A′D=DC=4，
A′C=A′O=2，由余弦定理知cos∠A′DC=；正△A′OC的邊OC上的高為A′到平面BCD的距離為．
解答：解：如圖所示，正方形ABCD沿對角線BD折成60°的二面角后，A點變?yōu)锳′點，
∴∠A′OC即為二面角A′-BD-C的平面角，即∠A′OC=60°，
∵A′O=OC，∴△A′OC為正三角形，故③正確；
∵BD⊥平面A′OC，故BD⊥A′C，即①正確；
在△A′DC中，A′D=DC=4，A′C=A′O=2，
由余弦定理知cos∠A′DC=，故④正確；
正△A′OC的邊OC上的高為A′到平面BCD的距離為．⑤正確，而②不正確；
∴正確的判斷有4個．
答案：C
點評：本題考查空間點、線、面的間的距離計算，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．