Question

【題目】設(shè)，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)分別是橢圓的上，下頂點(diǎn)，是等腰直角三角形，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線與直分別相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，求證：的外接圓恒過(guò)原點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)的周長(zhǎng)為，利用定義可解得，再根據(jù)是等腰直角三角形得到即可.

（2）設(shè)，根據(jù)直線與的斜率之積為，設(shè)直線的斜率為，則直線，，然后由，可得的坐標(biāo)，同理得到的坐標(biāo)，再利用中垂線定理，求得圓心E，驗(yàn)證即可.

（1）∵的周長(zhǎng)為，由定義可知，，，

∴，∴，

又∵是等腰直角三角形，且，∴，

∴橢圓的方程為；

（2）設(shè)，則，

∴直線與的斜率之積為，

設(shè)直線的斜率為，則直線，，

由，可得，同理，

∴線段與的中垂線交點(diǎn)，

又，

，

∴，

即共圓，

∴故的外接圓恒過(guò)定點(diǎn)