Question

13．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別為BB₁和CC₁的中點(diǎn)，AF⊥平面A₁DE，其垂足F落在直線A₁D上．
（1）求證：BC⊥A₁D； 
（2）若A₁D=$\sqrt{13}$，AB=BC=3，G為AC的中點(diǎn)，求三棱錐G-A₁DB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定定理，證明BC⊥平面AA₁B₁B，即可證明BC⊥A₁D； 
（2）利用三棱錐的體積公式，即可求三棱錐G-A₁DB₁的體積．

解答 （1）證明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，
又∵BC?平面ABC，∴AA₁⊥BC．…（1分）
又∵AF⊥平面A₁DE，DE?平面ADE，∴AF⊥DE．…（3分）
又∵D，E分別為BB₁和CC₁的中點(diǎn)，∴DE∥BC，∴AF⊥BC．…（4分）
而AA₁∩AF=A，
∴BC⊥平面AA₁B₁B．
又∵A₁D?平面AA₁B₁B，∴BC⊥A₁D． …（6分）
（2）解：∵AB=BC=3，∴A₁B₁=B₁C₁=DE=3，
則由Rt△A₁B₁D≌Rt△C₁DE，知C₁D=$\sqrt{13}$，
∴C₁E=$\sqrt{{C}_{1}{D}^{2}-D{E}^{2}}$=2，則B₁D=2．…（8分）
由（1）知BC⊥平面AA₁B₁B，則由G為AC的中點(diǎn)，知G到平面AA₁B₁B的距離為C到平面AA₁B₁B的距離的$\frac{1}{2}$，
即為$\frac{1}{2}BC$=$\frac{3}{2}$，…（10分）
∴${V}_{G-{A}_{1}D{E}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查棱錐的體積，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．