Question

19．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-a，x＜1}\\{（x-a）（x-3a），x≥1}\end{array}\right.$，若函數(shù)f（x）恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$\frac{1}{3}$≤a＜1或a≥3．

Answer 1

分析 分別討論f（x）=3^x-a=0時(shí)與f（x）=（x-a）（x-3a）=0時(shí)方程的根的情況，從而判斷函數(shù)的零點(diǎn)，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：①令f（x）=3^x-a=0得，
a=3^x，
∵x＜1，∴0＜3^x＜3；
故當(dāng)0＜a＜3時(shí)，f（x）在（-∞，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a≤0或a≥3時(shí)，f（x）在（-∞，1）上沒有零點(diǎn)；
②令f（x）=（x-a）（x-3a）=0得，
x=a或x=3a，
故當(dāng)3a＜1，即a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，f（x）在[1，+∞）上沒有零點(diǎn)，
當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a＜1時(shí)，f（x）在[1，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在[1，+∞）上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；
綜上可知，
當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a＜1或a≥3時(shí)，函數(shù)f（x）恰好有兩個(gè)零點(diǎn)；
故答案為：$\frac{1}{3}$≤a＜1或a≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．