Question

8．定義函數(shù)f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.5]=1，[-1.3]=-2．當(dāng)x∈[0，n）（n∈N^*）時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的值域?yàn)锳，記集合A中的元素個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{a_n}，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$．

Answer 1

分析 先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到[x[x]]在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意：[x]=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈[0，1）}\\{1，x∈[1，2）}\\{…}\\{n-1．x∈[n-1，n）}\end{array}\right.$
∴x[x]=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈[0，1）}\\{x，x∈[1，2）}\\{…}\\{（n-1）x，x∈[n-1，n）}\end{array}\right.$
∴[x[x]]在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)是：1，1，2，3，…，n-1
∵函數(shù)f（x）的值域?yàn)锳，
∴集合A中的元素個(gè)數(shù)為a_n=1+1+2+…+n-1=1+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$
故答案為：$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要通過取整函數(shù)來(lái)建立新函數(shù)，進(jìn)而研究其定義域和值域，屬于中檔題．