Question

11．如圖所示，折線B₀A₁B₂A₂B₃A₃…中線段分別平行于x軸或y軸，A₁，A₂，…，A_n…這些點在函數(shù)y=$\frac{2}{x-1}$（x＞1）圖象上，B₁，B₂…B_n…這些點在直線y=x上，設點A_n的縱坐標為y_n．
（1）用y_n表示y_n+1（n∈N^*）；
（2）若B₀（$\frac{11}{5}$，0），請寫出數(shù)列{y_n}的所有項；
（3）設B₀（x₀，0），當x₀為何值時，數(shù)列{y_n}是一個無窮的常數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）設B₀（x₀，0），由題意可得B₁（x₀，x₀），B₂（$\frac{2}{{x}_{0}-1}$，$\frac{2}{{x}_{0}-1}$），B₃（$\frac{2}{\frac{2}{{x}_{0}-1}-1}$，$\frac{2}{\frac{2}{{x}_{0}-1}-1}$），即可得到所求關(guān)系式；
（2）由（1），運用列舉法，即可得到所求數(shù)列中的所有項；
（3）由（1）可得，令y_n+1=y_n=t，（t＞1），解方程即可得到所求值．

解答 解：（1）設B₀（x₀，0），由題意可得B₁（x₀，x₀），
A₁（x₀，$\frac{2}{{x}_{0}-1}$），B₂（$\frac{2}{{x}_{0}-1}$，$\frac{2}{{x}_{0}-1}$），
A₂（$\frac{2}{{x}_{0}-1}$，$\frac{2}{\frac{2}{{x}_{0}-1}-1}$），
B₃（$\frac{2}{\frac{2}{{x}_{0}-1}-1}$，$\frac{2}{\frac{2}{{x}_{0}-1}-1}$），
…
即有y_n+1=f（y_n）=$\frac{2}{{y}_{n}-1}$（y_n＞1）；
（2）由B₀（$\frac{11}{5}$，0），
可得數(shù)列{y_n}的所有項為：$\frac{11}{5}$，$\frac{5}{3}$，3，1；
（3）設B₀（x₀，0），由（1）可得，
令y_n+1=y_n=t，（t＞1），
即有t=$\frac{2}{t-1}$，即為t²-t-2=0，
解得t=2（-1舍去）．
則x₀為2時，數(shù)列{y_n}是一個無窮的常數(shù)列．

點評 本題數(shù)列的遞推式的求法，注意運用分析法，考查數(shù)列的項的求法，注意運用列舉法，同時考查常數(shù)列的求法，注意運用方程的思想，考查運算能力，屬于中檔題．