Question

已知F₁，F(xiàn)₂是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是以F₁和F₂為公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，并且PF₁⊥F₂，e₁和e₂分別是上述橢圓和雙曲線的離心力，則有（　　）

• A、

  1

  e12

  +

  1

  e22

  =4
• B、

  1

  e12

  +

  1

  e22

  =2
• C、e₁²+e₂²=4
• D、e₁²+e₂²=2

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，并表示出e₁和e₂，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義、勾弦定理建立方程，聯(lián)立可得m，a，c的等式，整理即可得到結(jié)論．

解答： 解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，
則e₁=

c

a

，e₂=

c

m

，
不妨令P在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義得，|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由橢圓的定義得，|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∠F₁PF₂=90⁰，故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得，|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m² ④
將④代入③得，a²+m²=2c²，
即

a2

c2

+

m2

c2

=2，即

1

e12

+

1

e22

=2，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的共同特征，橢圓與雙曲線的定義、離心率，勾弦定理等，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，湊出兩曲線離心率所滿足的方程來(lái)．