Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中點(diǎn)，AF=

3

．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求此多面體的體積．

Answer 1

分析：（1）取CE中點(diǎn)P，連接FP、BP，結(jié)合三角形中位線定理，可得AB∥FP，且AB=FP，進(jìn)而得到AF∥BP，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到AF∥平面BCE；
（2）由已知中AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中點(diǎn)，AF=

3

，我們可以判斷△ACD為正三角形，則AF⊥CD，又由已知可得DE⊥AF，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得AF⊥平面CDE，進(jìn)而根據(jù)面面平行的判定定理，得到平面BCE⊥平面CDE；
（3）多面體是以C為頂點(diǎn)，以四邊形ABED為底邊的四棱錐，求出棱錐的高及底面面積，然后代入棱錐的體積公式，即可求出答案．

解答：證明：（1）取CE中點(diǎn)P，連接FP、BP，

∵PF∥DE，且FP=1
又AB∥DE，且AB=1，
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF為平行四邊形，
∴AF∥BP．（2分）
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE（4分）
（2）證明：∵AD=AC，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，AF=

3

．
所以△ACD為正三角形，
∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD
∴DE⊥AF
又AF⊥CD，CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE（6分）
又BP∥AF，
∴BP⊥平面CDE
又∵BP平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE（8分）
（3）此多面體是以C為頂點(diǎn)，以四邊形ABED為底邊的四棱錐，
等邊三角形AD邊上的高就是四棱錐的高V=

1

3

×

1

2

×2×(1+2)×

3

=

3

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，直線與平面平行的判定，其中熟練掌握空間直線與平面平行、垂直的判定、性質(zhì)、定義及幾何特征，建立良好的空間想像能力是解答本題的關(guān)鍵．