Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M（

3

，

3

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求橢圓C的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)P的軌跡方程；
（3）設(shè)（2）中的兩切點(diǎn)分別為A，B，求點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c=1 3 a2 + 3 4b2 =1

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）當(dāng)兩切線l₁，l₂的斜率有一條不存在（另一條必為0）時(shí)，點(diǎn)P（±2，±

3

）；當(dāng)兩切線l₁，l₂的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)l₁：y=kx+m，l₂：y=-

1

k

x+n，設(shè)P（x₀，y₀），則m=y₀-kx₀，n=y0+

1

k

x0，聯(lián)立

y=kx+m 3x2+4y2=12

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判別式，結(jié)合已知條件能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀），則x02+y02=7，直線AB的方程為

x0x

4

+

y0y

3

=1，過B（x₂，y₂）的切線l₂：

x2x

4

+

y2y

3

=1，得直線AB的方程為

x0x

4

+

y0y

3

=1，由此能求出點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0）重合，
且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M（

3

，

3

2

），
∴

c=1 3 a2 + 3 4b2 =1

，解得a=2，b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①當(dāng)兩切線l₁，l₂的斜率有一條不存在（另一條必為0）時(shí)，
點(diǎn)P（±2，±

3

）；
②當(dāng)兩切線l₁，l₂的斜率均存在且不為0時(shí)，
設(shè)l₁：y=kx+m，l₂：y=-

1

k

x+n，
設(shè)P（x₀，y₀），則m=y₀-kx₀，（i），n=y0+

1

k

x0，（ii）
聯(lián)立

y=kx+m 3x2+4y2=12

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵l₁：y=lx+m與橢圓相切，∴△=0，
于是m²=4k²+3，同理n²=

4

k2

+3，
∴

(y0-kx0)2=4k2+3 (y0+ 1 k x0)2= 4 k2 +3

，整理，得：

y02-2kx0y0+k2x02=4k2+3 k2y2+2kx0y0+x02=4+3k2

，
兩式相加，得（k²+1）y02+(k2+1)x02=7(k2+1)，
即x02+y02=7，
P（±2，±3）也在此曲線上，
綜上，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：x²+y²=7．
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀），則x02+y02=7，
下先證明直線AB的方程為

x0x

4

+

y0y

3

=1，
設(shè)兩切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)過A（x₁，y₁）的切線：y-y₁=k₁（x-x₁）代入橢圓方程得：
（3+4k₁²）x²+8k₁（y₁+k₁x₁）x+4（y₁-k₁x₁）²-12=0，
由△=0得，(y1-k1x1)2-3-4k12=0，
又

x12

4

+

y12

3

=1，y12=3-

3

4

x12，x12=4-

4

3

y12，
代入得：（k1y1+

3

4

x1）²=0，∴k1=-

3x1

4y1

，
于是過A（x₁，y₁）的切線l₁：

x1x

4

+

y1y

3

=1，
當(dāng)過A（x₁，y₁）的切線斜率不存在時(shí)仍然符合上式，
同理過B（x₂，y₂）的切線l₂：

x2x

4

+

y2y

3

=1，
而l₁，l₂均過P（x₀，y₀），故

x1x0

4

+

y1y0

3

=1，

x2x0

4

+

y2y0

3

=1，
由此可得直線AB的方程為

x0x

4

+

y0y

3

=1，
∴P點(diǎn)到直線AB的距離：
d=

| x02 4 + y02 3 -1|

x02 16 + y02 9

=

| x02 4 + 7-x02 3 -1|

x02 16 + 7-x02 9

=

16-x02

7

，
而x02∈[0，7]，∴點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值和最小值分別為

4 7

7

，

3 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓C的方程，考查點(diǎn)的軌跡方程，考查點(diǎn)到直線AB的距離的最大值和最小值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．