【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長分別為a,b,c,且滿足a2+c2-b2=ac.
(1)求角B的大;
(2)若2bcos A=(ccosA+acosC),BC邊上的中線AM的長為,求△ABC的面積.
【答案】(1) (2)
【解析】
試題分析:利用余弦定理表示出,將已知等式變形后代入求出的值,由為三角形內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值就可求出的大;
利用正弦定理化簡已知等式,求出的值,由為三角形內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值求出的大小,確定出的大小,設(shè),利用余弦定理列出關(guān)于的方程,求出方程的解得到的值,確定出和,即可求出的面積。
解析:(1)由余弦定理,得cosB===.
因?yàn)?/span>B是三角形的內(nèi)角,所以B=.
(2)由正弦定理,得==,
代入2bcos A= (ccosA+acosC),
可得2sin BcosA= (sin CcosA+sin AcosC),
即2sin BcosA=sin B.
因?yàn)?/span>B∈(0,π),所以sin B≠0,
所以cosA=,
所以A=,則C=π-A-B=.
設(shè)AC=m(m>0),則BC=m,
所以CM=m.
在△AMC中,由余弦定理,得
AM2=CM2+AC2-2CM·AC·cos,
即()2=m2+m2-2·m·m·(-),整理得m2=4,解得m=2.
所以S△ABC=CA·CBsin=×2×2×=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)習(xí)雷鋒精神前半年內(nèi)某單位餐廳的固定餐椅經(jīng)常有損壞,學(xué)習(xí)雷鋒精神時(shí)全修好;單位對(duì)學(xué)習(xí)雷鋒精神前后各半年內(nèi)餐椅的損壞情況作了一個(gè)大致統(tǒng)計(jì),具體數(shù)據(jù)如表:
損壞餐椅數(shù) | 未損壞餐椅數(shù) | 總計(jì) | |
學(xué)習(xí)雷鋒精神前 | 50 | 150 | 200 |
學(xué)習(xí)雷鋒精神后 | 30 | 170 | 200 |
總計(jì) | 80 | 320 | 400 |
求:學(xué)習(xí)雷鋒精神前后餐椅損壞的百分比分別是多少?并初步判斷損毀餐椅數(shù)量與學(xué)習(xí)雷鋒精神是否有關(guān)?
請(qǐng)說明是否有以上的把握認(rèn)為損毀餐椅數(shù)量與學(xué)習(xí)雷鋒精神
有關(guān)?參考公式:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,M是SB的中點(diǎn),AB∥CD,BC⊥CD,且AB=BC=2,CD=SD=1,又SD⊥面SAB.
(1)證明:CD⊥SD;
(2)證明:CM∥面SAD;
(3)求四棱錐S﹣ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù), ). 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)到直線的距離的最大值;
(2)若曲線上所有的點(diǎn)均在直線的右下方,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:;
(Ⅲ)求證:對(duì)任意正整數(shù),都有 (其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2016·貴陽第二次聯(lián)考)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量m=(a+b,sin A-sin C),向量n=(c,sin A-sin B),且m∥n.
(1)求角B的大小;
(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D,且AD=,求a+2c的最大值及此時(shí)△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某面包店隨機(jī)收集了面包種類的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:
面包類型 | 第一類 | 第二類 | 第三類 | 第四類 | 第五類 | 第六類 |
面包個(gè)數(shù) | 90 | 60 | 30 | 80 | 100 | 40 |
好評(píng)率 | 0.6 | 0.45 | 0.7 | 0.35 | 0.6 | 0.5 |
好評(píng)率是指:一類面包中獲得好評(píng)的個(gè)數(shù)與該類面包的個(gè)數(shù)的比值.
(1)從面包店收集的面包中隨機(jī)選取1個(gè),求這個(gè)面包是獲得好評(píng)的第五類面包的概率;
(2)從面包店收集的面包中隨機(jī)選取1個(gè),估計(jì)這個(gè)面包沒有獲得好評(píng)的概率;
(3)面包店為增加利潤,擬改變生產(chǎn)策略,這將導(dǎo)致不同類型面包的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類面包的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類面包的好評(píng)率增加0.1,哪類面包的好評(píng)率減少0.1,使得獲得好評(píng)的面包總數(shù)與樣本中的面包總數(shù)的比值達(dá)到最大?(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015年7月9日21時(shí)15分,臺(tái)風(fēng)“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸,造成165.17萬人受災(zāi),5.6萬人緊急轉(zhuǎn)移安置,288間房屋倒塌,46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi),直接經(jīng)濟(jì)損失12.99億元.距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺(tái)風(fēng)的影響,適逢暑假,小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成,,,,五組,并作出如圖頻率分布直方圖:
(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)小區(qū)平均每戶居民的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)小明向班級(jí)同學(xué)發(fā)出倡議,為該小區(qū)居民捐款,現(xiàn)從損失超過4000元的居民中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行捐款援助,設(shè)抽出損失超過8000元的居民為戶,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)臺(tái)風(fēng)后區(qū)委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如圖,根據(jù)圖表格中所給數(shù)據(jù),分別求,,,,,,的值,并說明是否有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)?
經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元 | 經(jīng)濟(jì)損失超過4000元 | 合計(jì) | |
捐款超過500元 | |||
捐款不超過500元 | |||
合計(jì) |
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:臨界值表參考公式:,.
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