Question

8．已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程，直線l的普通方程；
（2）點(diǎn)A在曲線C上，B點(diǎn)在直線l上，求A，B兩點(diǎn)間距離|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1可得直角坐標(biāo)方程，．利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化為直角坐標(biāo)方程．直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式圓心C（0，2）到直線l的距離d．可得A，B兩點(diǎn)間距離|AB|的最小值=d-r．

解答 解：（1）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
可得直角坐標(biāo)方程：x²+（y-2）²=4，展開可得：x²+y²-4y=0，
可得極坐標(biāo)方程：ρ²-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：x-y-3=0．
（2）圓心C（0，2）到直線l的距離d=$\frac{|-2-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∴A，B兩點(diǎn)間距離|AB|的最小值為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．