Question

19．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)f（x）=f（x-3），且滿足f（-2）=-3，若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足$\frac{{S}_{n}}{n}=\frac{2{a}_{n}}{n}+1$，則f（a₅）+f（a₆）=3．

Answer 1

分析 求出{a_n}的遞推式，計算a₅，a₆，根據(jù)f（x）的周期T=3和奇偶性計算f（a₅），f（a₆）．

解答 解：∵$\frac{{S}_{n}}{n}=\frac{2{a}_{n}}{n}+1$，∴S_n=2a_n+n，
當(dāng)n=1時，a₁=2a₁+1，∴a₁=-1．
當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1+n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1+1，
∴a_n=2a_n-1-1．
∴a₂=-3，a₃=-7，a₄=-15，a₅=-31，a₆=-63．
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=f（x-3），
∴f（a₅）=f（-31）=f（-1）=-f（1）=-f（-2）=3．
f（a₆）=f（-63）=f（0）=0．
∴f（a₅）+f（a₆）=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推式，函數(shù)奇偶性與周期性的應(yīng)用，屬于中檔題．