Question

1．求下列各值．
（1）若（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中第9項與第10項的二項式系數相等，求x的一次項系數；
（2）已知（2x-1）⁷=a₀x⁷+a₁x⁶+a₂x⁵+…+a₇，求a₁+a₃+a₅+a₇的值．

Answer 1

分析 （1）根據第9項與第10項的二項式系數相等，建立等式，求出n的值，根據通項可求滿足條件的系數．
（2）可分別令x=1與x=-1，得到的二式聯(lián)立，即可求得a₁+a₃+a₅+a₇的值．

解答 解：（1）∵C_n⁸=C_n⁹，
∴n=17，
∴T_r+1=C₁₇^rx${\;}^{（\frac{17-r}{2}-\frac{r}{3}）}$2^r，
令$\frac{17-r}{2}$-$\frac{r}{3}$=1，
解得r=9，
∴T₁₀=C₁₇⁹x2⁹，
∴x的一次項系數C₁₇⁹•2⁹；
（2）令f（x）=（2x-1）⁷，
∴f（-1）=-a₀+a₁-a₂+…+a₇，
f（1）=a₀+a₁+a₂+…+a₇，
∴a₁+a₃+a₅+a₇=$\frac{f（1）+f（-1）}{2}$=$\frac{{1}^{7}+（-3）^{7}}{2}$=-1093．

點評 本題主要考查了二項式系數的性質，以及系數的求解，賦值法的應用，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題