Question

16．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1處取得極小值，在x=$\frac{2}{3}$處取得極大值
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=-3x²+2ax+b，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=0}\\{f′（\frac{2}{3}）=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-3-2a+b=0}\\{-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=-x³-$\frac{1}{2}$x²+2x，
f′（x）=-3x²-x+2，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜$\frac{2}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜-1，
故f（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，$\frac{2}{3}$）遞增，在（$\frac{2}{3}$，+∞）遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是一道中檔題．