Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2-x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x+3）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則函數(shù)f（x）的最小正周期為（　　）

• A、4
• B、8
• C、12
• D、16

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（2-x）為奇函數(shù)，由定義將x換為-x，再將x換為x+2，得到f（4+x）=-f（-x），由于函數(shù)f（x+3）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，應(yīng)用平移得到函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=4對(duì)稱，即f（4+x）=f（4-x），從而得到f（x+4）=-f（x），再將x換為x+4，即可得到函數(shù)f（x）的最小正周期．

解答： 解：∵f（x）滿足f（2-x）為奇函數(shù)，
∴f（2+x）=-f（2-x），
即f（4+x）=-f（-x）①，
∵函數(shù)f（x+3）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴將函數(shù)f（x+3）的圖象向右平移3個(gè)單位得到y(tǒng)=f（x）的圖象，
則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱，
∴f（4+x）=f（4-x）②，
由①②得：f（4-x）=-f（-x），
即f（x+4）=-f（x），
∴f（x+8）=-f（x+4）即f（x+8）=f（x），
故函數(shù)f（x）的最小正周期為8．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性的定義，圖象平移和對(duì)稱性，以及周期性，考查解決抽象函數(shù)問題常用的方法：賦值法，將x換為x+1，x+2等這種賦式法一定要掌握．