Question

在數(shù)列{a_n}和{b_n}中，a_n=aⁿ，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈Z，b∈R．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求數(shù)列{b_n}的前n項和；
（Ⅱ）證明：當a=2，b=

2

時，數(shù)列{b_n}中的任意三項都不能構成等比數(shù)列；
（Ⅲ）設A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，設C=A∩B．當b=1時，求出相應的集合C．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質

專題：

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式問題得以解決；
（Ⅱ）利用反證法，假設3m+

2

，3p+

2

，3t+

2

，成等比數(shù)列，其中m，n，p∈N^*，
（Ⅲ）利用分類討論的思想，當s=

a2-1

a+1

，分t=1，t=2n，t=2n+1三種情況討論．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=b₁，∴a=a+1+b，即b=-1，
∵a₂＜b₂，∴a²-2a-1＜0，
即1-

2

＜a＜1+

2

，
∵a≥2，且a∈N^*，
∴a=2，
∴b_n=3n-1，數(shù)列{b_n}是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，
∴sn=

n(b1+bn)

2

=

3

2

n2+

1

2

n．
（Ⅱ）∵b_n=（a+1）n+b，a=2，b=

2

∴b_n=3n+

2

，
假設3m+

2

，3p+

2

，3t+

2

，成等比數(shù)列，其中m，n，p∈N^*，
且彼此不等，則（3p+

2

）²=（3m+

2

）（3t+

2

），
∴9p2+6

2

p+2=9mt+3

2

t+2，
∴

p2=mt 2p=m+t

，
可得m=t，與m≠t矛盾；假設不成立．
可得數(shù)列{b_n}中的任意三項都不能構成等比數(shù)列．
（Ⅲ）當b=1時，設m₀∈C，則m₀∈A，且m₀∈B，設m₀∈a² （t∈N^*_），
m₀∈（a+1）s+1（t∈N^*_），則a²=（a+1）s+1，
∴s=

a2-1

a+1

，
∵a，t，s∈N^*，且a≥2，所以a²-1能被a+1整除．
（1）當t=1時，s=

a-1

a+1

∉N^*；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）當t=2n（n∈N^*）時，a²ⁿ-1=[（a+1）-1]²ⁿ-1=(a+1)2n+…+

C

1 2n+1

(a+1)+1-1，
所以所以a²-1能被a+1整除．
（3）當t=2n+1（n∈N^*）時，a²ⁿ⁺¹-1=[（a+1）-1]^2n-1-1=(a+1)2n+1+…+

C

1 2n+1

(a+1)-2，
所以所以所以a²-1不能被a+1整除．
綜上所述，b=1時，C={y|y=a²ⁿ，n∈N^*}．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，以及利用反證法證明問題，解題時要認真審題，仔細解答．