Question

已知函數(shù)，其中為實常數(shù).

⑴若在上恒成立，求的取值范圍；

⑵已知，是函數(shù)圖象上兩點，若在點處的兩條切線相互平行，求這兩條切線間距離的最大值；

    ⑶設(shè)定義在區(qū)間上的函數(shù)在點處的切線方程為，當(dāng)時，若在上恒成立，則稱點為函數(shù)的“好點”．試問函數(shù)是否存在“好點”．若存在，請求出所有“好點”坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

 解：（1）方法一：在上恒成立，即為在上恒成立，①時，結(jié)論成立；②時，函數(shù)圖象的對稱軸為，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，依題意，即，所以；

③不合要求，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．    4分

方法二：在上恒成立等價于，

令因為，所以，故所以.

（2）設(shè)，，過點的兩切線互相平行，

則，所以（舍去），或，

過點的切線：，即，6分

過點的切線：

兩平行線間的距離是

，

因為，所以

即兩平行切線間的最大距離是．·················· 10分

（3），設(shè)存在“好點”，

由，得，

依題意對任意恒成立，

因為，

13分

所以對任意恒成立，

①     若，不可能對任意恒成立，

即時，不存在“好點”；

②若，因為當(dāng)時，，

要使對任意恒成立，