Question

1．給定雙曲線C：x²-$\frac{2{y}^{2}}{\sqrt{5}+1}$=1，若直線l過C的中心，且與C交M，N兩點(diǎn)，P為曲線C上任意一點(diǎn)，若直線PM，PN的斜率均存在且分別記為k_PM、k_PN，則k_PM•k_PN=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)M（x₀，y₀），由雙曲線的對稱性，可得N的坐標(biāo)，設(shè)P（x_P，y_P），結(jié)合題意，又由M，P在雙曲線上，可得x²-$\frac{2{y}^{2}}{\sqrt{5}+1}$=1，將其坐標(biāo)代入k_PM•k_PN中，計(jì)算可得答案．

解答 設(shè)M（x₀，y₀），由雙曲線的對稱性，可得N（-x₀，-y₀）．
設(shè)P（x_P，y_P），
則${k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{{{y_P}-{y_0}}}{{{x_P}-{x_0}}}•\frac{{{y_P}+{y_0}}}{{{x_P}+{x_0}}}=\frac{{{y_P}^2-{y_0}^2}}{{{x_P}^2-{x_0}^2}}$，
又∵x²-$\frac{2{y}^{2}}{\sqrt{5}+1}$=1，
∴x²=$\frac{2{y}^{2}}{\sqrt{5}+1}$+1，
則x₀²=$\frac{2}{\sqrt{5}+1}$y₀²+1．
同理x_P²=$\frac{2}{\sqrt{5}+1}$y_P²+1，
兩式作差得x_P²-x₀²=$\frac{2}{\sqrt{5}+1}$（y_P²-y₀²），
即y_P²-y₀²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（x_P²-x₀²），
則${k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{{{y_P}-{y_0}}}{{{x_P}-{x_0}}}•\frac{{{y_P}+{y_0}}}{{{x_P}+{x_0}}}=\frac{{{y_P}^2-{y_0}^2}}{{{x_P}^2-{x_0}^2}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，設(shè)出M，N，P的坐標(biāo)，利用直線斜率公式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．