Question

12．若復(fù)數(shù)z滿足|z+3|=|z-4i|（i為虛數(shù)單位），則|z|的最小值為$\frac{7}{10}$．

Answer 1

分析 設(shè)z=a+bi，（a，b∈R）．由|z+3|=|z-4i|（i為虛數(shù)單位），可得$\sqrt{（3+a）^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（b-4）^{2}}$，化為：6a+8b-7=0．再利用原點到直線的距離公式即可得出．

解答 解：設(shè)z=a+bi，（a，b∈R）．
∵|z+3|=|z-4i|（i為虛數(shù)單位），
∴$\sqrt{（3+a）^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（b-4）^{2}}$，
化為：6a+8b-7=0．
∴|z|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$的最小值為原點（0，0）到直線l：6a+8b-7=0的距離，：$\frac{|-7|}{\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}}$=$\frac{7}{10}$，
故答案為：$\frac{7}{10}$．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．