Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1（m＞0）．
（Ⅰ）若m=2，求橢圓C的離心率及短軸長；
（Ⅱ）若存在過點(diǎn)P（-1，0），且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)的直線l，使得以線段AB為直徑的圓恰好通過坐標(biāo)原點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）m=2時(shí)，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，由此能求出橢圓C的離心率及短軸長．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由題意設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{m}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，得（m+4k²）x²+8k²x+4k²-4m=0，由以線段AB為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，得（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²=0；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，$\frac{1}{4}+\frac{1}{m}$=1．由此能求出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵m=2，∴橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴c=$\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$，a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，短軸長2b=2$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由題意設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{m}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，得（m+4k²）x²+8k²x+4k²-4m=0，
∵以線段AB為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²=0，
∴（1+k²）•$\frac{4{k}^{2}-4m}{m+4{k}^{2}}$+k²（$\frac{-8{k}^{2}}{m+4{k}^{2}}$）+k²=0，
∴k²=$\frac{4m}{4-3m}$，
由${k}^{2}=\frac{4m}{4-3m}$≥0，m＞0，得0＜m＜$\frac{4}{3}$，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
∵以線段AB為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴A（-1，1），
∴$\frac{1}{4}+\frac{1}{m}$=1，解得m=$\frac{4}{3}$．
綜上所述，m的取值范圍是（0，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的離心率及短軸長的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、圓、直線方程、向量等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．