Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{tx+b}{{c{x^2}+1}}$（t，b，c為常數(shù)，t≠0）．
（Ⅰ）若c=0時(shí)，數(shù)列{a_n}滿足條件：點(diǎn)（n，a_n）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若a₃=7，S₄=24，p，q∈N^*（p≠q），證明：S_p+q＜$\frac{1}{2}$（S_2p+S_2q）．

Answer 1

分析 （I）有題意可得a_n=f（n）=tn+b，利用定義判斷{a_n}為等差數(shù)列，再代入前n項(xiàng)和公式得出S_n；
（II）列方程解出首項(xiàng)和公差，得出S_p+q和S_2p+S_2q，利用作差法證明結(jié)論．

解答 解：（I）c=0時(shí)，f（x）=tx+b
∵點(diǎn)（n，a_n）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴a_n=f（n）=tn+b．
∴a_n-a_n-1=tn+b-[t（n-1）+b]=t，（n≥2）
∴{a_n}是首項(xiàng)是a₁=t+b，公差為d=t的等差數(shù)列．
∴S_n=n（t+b）+$\frac{n（n-1）}{2}×t$=nb+$\frac{n（n+1）}{2}t$．
（Ⅱ）證明：∵a₃=7，S₄=24，∴$\left\{\begin{array}{l}{（t+b）+2t=7}\\{4（t+b）+6t=24}\end{array}\right.$
解得t=2，b=1．∴a_n=2n+1．
∴S_n=$\frac{3+2n+1}{2}×n$=n²+2n．
∴S_p+q=[（p+q）²+2（p+q）]=p²+q²+2pq+2p+2q，
$\frac{1}{2}$（S_2p+S_2q）=2p²+2p+2q²+2q，
∴S_p+q-$\frac{1}{2}$（S_2p+S_2q）=-p²-q²+2pq=-（p-q）²．
又p≠q，∴S_p+q-$\frac{1}{2}$（S_2p+S_2q）=-（p-q）²＜0．
∴S_p+q＜$\frac{1}{2}$（S_2p+S_2q）．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的判斷，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．