Question

15．如圖所示，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=λAA₁，O是底面ABCD的中心，求λ的值，使得A₁O⊥面BDC₁．

Answer 1

分析 連結AC，OC₁，A₁C₁，則△A₁OC₁是等腰直角三角形，故A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$AO，從而A₁A=AO．

解答 解：連結AC，OC₁，A₁C₁，
∵A₁O⊥面BDC₁，OC₁?平面BDC₁，
∴A₁O⊥OC₁，
∵△A₁AO∽△C₁CO，∴A₁O=C₁O，
∴△A₁OC₁是等腰直角三角形，∴A₁C₁=$\sqrt{2}$A₁O．
∵A₁C₁=AC=2AO，∴A₁O=$\sqrt{2}$AO，
∴A₁A=AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}AB$．即AB=$\sqrt{2}$A₁A．

點評 本題考查了線面垂直的性質，棱錐的結構特征，屬于基礎題．