Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x-1|-m}$．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域M；
（2）當(dāng)a，b∈∁_RM時(shí)，證明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

分析 （1）由題意和二次根式的被開方數(shù)非負(fù)，可得|x+1|+|x-1|≥4，運(yùn)用絕對值的意義和對x討論，解不等式即可得到所求定義域；
（2）可得-2＜a，b＜2，要證2|a+b|＜|4+ab|，可證4（a+b）²＜（4+ab）²，作差4（a+b）²-（4+ab）²，運(yùn)用平方差和因式分解，即可得證．

解答 解：（1）當(dāng)m=4時(shí)，由|x+1|+|x-1|≥4，
 等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1-x+1≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+1+x-1≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x+1+1-x≥4}\end{array}\right.$，
解得x≤-2或x≥2或x∈∅．
則不等式的解集為M={x|x≤-2或x≥2}；
（2）證明：當(dāng)a，b∈C_RM時(shí)，即-2＜a，b＜2，
所以4（a+b）²-（4+ab）²=4（a²+2ab+b²）-（16+8ab+a²b²）
=4a²+4b²-16-a²b²=（a²-4）（4-b²）＜0，所以4（a+b）²＜（4+ab）²，
即2|a+b|＜|4+ab|．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的定義域的求法，注意運(yùn)用絕對值的意義，以及分類討論的思想方法，考查不等式的證明，注意運(yùn)用作差法，考查推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．