【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為.
(1)求橢圓的方程式;
(2)已知?jiǎng)又本與橢圓相交于兩點(diǎn).
①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求斜率的值;
②已知點(diǎn),求證: 為定值.
【答案】(1)+=1
(2)①±②見解析
【解析】試題分析:(1)解:因?yàn)闄E圓C滿足 ,根據(jù)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為,可得,據(jù)此即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)①設(shè)將代入中,消元得,然后再利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果;②由①知, ,所以代入韋達(dá)定理化簡即可證明結(jié)果.
試題解析:(1)解:因?yàn)闄E圓C: 滿足 ,
根據(jù)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為,
可得.
從而可解得,
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)①解:設(shè)
將代入中,
消元得,
, ,
因?yàn)?/span>AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,解得.
②證明:由①知, ,
所以
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過點(diǎn)的直線與圓相切,且與直線垂直,則( )
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P(2,2)滿足圓的方程,所以P在圓上,
又過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓相切,且與直線axy+1=0垂直,
所以切點(diǎn)與圓心連線與直線axy+1=0平行,
所以直線axy+1=0的斜率為: .
故選A.
點(diǎn)睛:對(duì)于直線和圓的位置關(guān)系的問題,可用“代數(shù)法”或“幾何法”求解,直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合,“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的,解題時(shí)不要單純依靠代數(shù)計(jì)算,若選用幾何法可使得解題過程既簡單又不容易出錯(cuò).
【題型】單選題
【結(jié)束】
23
【題目】設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)在雙曲線上,且,則 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若平面點(diǎn)集滿足:任意點(diǎn),存在,都有,則稱該點(diǎn)集是“階聚合”點(diǎn)集,F(xiàn)有四個(gè)命題:
①若,則存在正數(shù),使得是“階聚合”點(diǎn)集;
②若,則是“階聚合”點(diǎn)集;
③若,則是“2階聚合”點(diǎn)集;
④若是“階聚合”點(diǎn)集,則的取值范圍是.
其中正確命題的序號(hào)為( )
A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中, 底面, , , , 是棱上一點(diǎn).
(I)求證: .
(II)若, 分別是, 的中點(diǎn),求證: 平面.
(III)若二面角的大小為,求線段的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是直線()上一動(dòng)點(diǎn), 、是圓: 的兩條切線, 、為切點(diǎn), 為圓心,若四邊形面積的最小值是,則的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵圓的方程為: ,
∴圓心C(0,1),半徑r=1.
根據(jù)題意,若四邊形面積最小,當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí),即距離為圓心到直線l的距離最小時(shí),切線長PA,PB最小。切線長為4,
∴,
∴圓心到直線l的距離為.
∵直線(),
∴,解得,由
所求直線的斜率為
故選D.
【題型】單選題
【結(jié)束】
19
【題目】拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點(diǎn), ,垂足為,則的面積是 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn).
(1)求k的取值范圍;
(2)若=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求|MN|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過拋物線的焦點(diǎn),斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn),且.
(1)求該拋物線的方程;
(2) 為坐標(biāo)原點(diǎn),為拋物線上一點(diǎn),若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知梯形與梯形全等, , , , , , 為中點(diǎn).
(Ⅰ)證明: 平面
(Ⅱ)點(diǎn)在線段上(端點(diǎn)除外),且與平面所成角的正弦值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(、為常數(shù)).若函數(shù)與的圖象在處相切,
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù) ,若在上的最小值為,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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