【題目】如圖,已知梯形與梯形全等, , , , , , 為中點.
(Ⅰ)證明: 平面
(Ⅱ)點在線段上(端點除外),且與平面所成角的正弦值為,求的值.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(Ⅰ):設為中點,連結,易得四邊形是平行四邊形,有,進而可證線面平行;
(Ⅱ)由, 得平面,以為坐標原點, , , 的方向分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標系.設點在上,且,求得平面的個法向量,設與平面所成角為,則,從而得解.
試題解析:
(Ⅰ)證明:方法一:設為中點,連結,因為為中點,
所以是的中位線, .
由已知,所以,因此四邊形是平行四邊形,
所以.
又平面, 平面,所以平面.
方法二:延長線段, ,交于點,連結,由,則是的中點,又是的中點,所以是的中位線,所以.
又平由, 平面,所以平面.
(Ⅱ)由梯形與梯形全等,
因為, ,
所以, .
中, ,
所以.因為,
故有,從而,
又因為, ,所以平面.
以為坐標原點, , , 的方向分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標系.設點在上,且, , ,
, ,所以,
設是平面的個法向量,則
即取
,
故.
設與平面所成角為,
則,即.
解得, (舍去),故.
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【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為.
(1)求橢圓的方程式;
(2)已知動直線與橢圓相交于兩點.
①若線段中點的橫坐標為,求斜率的值;
②已知點,求證: 為定值.
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【題目】如圖,四棱錐中,底面為平行四邊形, , 是棱PD的中點,且, .
(I)求證: ; (Ⅱ)求二面角的大;
(Ⅲ)若是上一點,且直線與平面成角的正弦值為,求的值.
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【題目】4月23日是“世界讀書日”,某中學在此期間開展了一系列的讀書教育活動,為了解本校學生課外閱讀情況,學校隨機抽取了100名學生對其課外閱讀時間進行調查,下面是根據調查結果繪制的學生日均課外閱讀時間(單位:min)的頻率分布直方圖,若將日均課外閱讀時間不低于60 min的學生稱為“書蟲”,低于60 min的學生稱為“懶蟲”,
(1)求x的值并估計全校3 000名學生中“書蟲”大概有多少名學生?(將頻率視為概率)
(2)根據已知條件完成下面2×2的列聯表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“書蟲”與性別有關:
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【題目】某市電力公司為了制定節(jié)電方案,需要了解居民用電情況,通過隨機抽樣,電力公司獲得了戶居民的月平均用電量,分為六組制出頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示).
組號 | 分組 | 頻數 | 頻率 |
(1)求, 的值;
(2)為了解用電量較大的用戶用電情況,在第、兩組用分層抽樣的方法選取戶.
①求第、兩組各取多少戶?
②若再從這戶中隨機選出戶進行入戶了解用電情況,求這戶中至少有一戶月平均用電量在范圍內的概率.
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