Question

16．已知向量（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$）且（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），求向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角θ．

Answer 1

分析 向量（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$）且（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），可得$7{\overrightarrow{a}}^{2}+16\overrightarrow{a}•\overrightarrow-15{\overrightarrow}^{2}$=0，$7{\overrightarrow{a}}^{2}-30\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+8${\overrightarrow}^{2}$=0，化為$|\overrightarrow|=2|\overrightarrow{a}|cosθ$，代入$7{\overrightarrow{a}}^{2}+16\overrightarrow{a}•\overrightarrow-15{\overrightarrow}^{2}$=0，解出即可．

解答 解：∵向量（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$）且（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），
∴$7{\overrightarrow{a}}^{2}+16\overrightarrow{a}•\overrightarrow-15{\overrightarrow}^{2}$=0，
$7{\overrightarrow{a}}^{2}-30\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+8${\overrightarrow}^{2}$=0，
∴$2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cosθ$=$|\overrightarrow{|}^{2}$，
化為$|\overrightarrow|=2|\overrightarrow{a}|cosθ$，代入$7{\overrightarrow{a}}^{2}+16\overrightarrow{a}•\overrightarrow-15{\overrightarrow}^{2}$=0，
化為：$7|\overrightarrow{a}{|}^{2}$+16$|\overrightarrow{a}|×2|\overrightarrow{a}|co{s}^{2}θ$-$15×4|\overrightarrow{a}{|}^{2}$cos²θ，
∴$cosθ=±\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積的定義及其運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．