Question

3．已知：橢圓C的對稱中心為坐標原點，其中一個頂點為A（0，2），左焦點F（-2$\sqrt{2}$，0）．
（1）求橢圓的方程
（2）是否存在過點B（0，-2）的直線l，使直線l與橢圓C相交于不同的兩點M、N，并且|AM|=|AN|？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．則b=2，c=2$\sqrt{2}$，a²=b²+c²．即可得出．
（2）假設(shè)存在過點B（0，-2）的直線l，使直線l與橢圓C相交于不同的兩點M、N，并且|AM|=|AN|．不妨設(shè)M（0，-2）與B點重合，N（x₁，y₁）．MN的中點為D（x₀，y₀）．設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．
則b=2，c=2$\sqrt{2}$，a²=b²+c²=12．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）假設(shè)存在過點B（0，-2）的直線l，使直線l與橢圓C相交于不同的兩點M、N，并且|AM|=|AN|．
不妨設(shè)M（0，-2）與B點重合，N（x₁，y₁）．MN的中點為D（x₀，y₀）．
設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx-2}\end{array}\right.$，化為（1+3k²）x²-12kx=0，
則x₁+0=$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，
${x}_{0}=\frac{1}{2}{x}_{1}$=$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，y₀=kx₀-2=$\frac{-2}{1+3{k}^{2}}$．
∴k_AD=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}$=$\frac{-2-3{k}^{2}}{3k}$．
∵AD⊥MN，
∴k_AD•k=$\frac{-2-3{k}^{2}}{3k}$×k=-1．
解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
因此假設(shè)正確：直線l的方程為：y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}x-2$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．