11.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的右頂點(diǎn),上頂點(diǎn)分別為M、N,過(guò)其左焦點(diǎn)F作直線l垂直于x軸,且與橢圓在第二象限交于點(diǎn)P,$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{OP}$
(1)求證:a=$\sqrt$;
(2)若橢圓的弦AB過(guò)點(diǎn)E(2,0)并與坐標(biāo)軸不垂直,設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,直線A1B與x軸交于點(diǎn)R(5,0),求橢圓C的方程.

分析 (1)由橢圓方程得M、N的坐標(biāo),進(jìn)一步求得$\overrightarrow{MN}=(-a,b)$,寫(xiě)出過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F作直線l的方程:x=-c,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求得P的坐標(biāo),再求出$\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo)由$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{OP}$可得b=c,結(jié)合a2=b2+c2得答案;
(2)設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,設(shè)直線AB:y=k(x-2),聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A,B橫坐標(biāo)的和與積,求出A1(x1,-y1),結(jié)合A1、B、R共線得$\overrightarrow{{A}_{1}R}∥\overrightarrow{BR}$,再結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得b2=5.則橢圓方程可求.

解答 (1)證明:由橢圓方程C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)得M、N的坐標(biāo)為M(a,0),N(0,b),
則$\overrightarrow{MN}=(-a,b)$,
又過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F作直線l垂直x軸,設(shè)直線l方程:x=-c,
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$,得P(-c,$\frac{^{2}}{a}$),∴$\overrightarrow{OP}$=(-c,$\frac{^{2}}{a}$),
由$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{OP}$,得$-a×\frac{^{2}}{a}-b×(-c)=0$,化簡(jiǎn)得b=c,
由a2=b2+c2,得a=$\sqrt$;
(2)解:由(1),橢圓方程可設(shè)為x2+2y2=2b2,
∵弦AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(2,0),并與坐標(biāo)軸不垂直,
∴設(shè)直線AB:y=k(x-2),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-2)}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2^{2}}\end{array}\right.$,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2b2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}},{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-2^{2}}{1+2{k}^{2}}$. ①
點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A1,∴A1(x1,-y1),
由A1、B、R共線得$\overrightarrow{{A}_{1}R}∥\overrightarrow{BR}$,又$\overrightarrow{{A}_{1}R}=(5-{x}_{1},{y}_{1}),\overrightarrow{BR}=(5-{x}_{2},-{y}_{2})$,
∴(5-x1)(-y2)-y1(5-x2)=0,
化簡(jiǎn)得2x1x2+20=7(x1+x2).②
將①式代入②中得$2•\frac{8{k}^{2}-2^{2}}{1+2{k}^{2}}+20=7•\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$.
解得b2=5.
橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了橢圓方程的求法,訓(xùn)練了直線和圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及直線和圓錐曲線關(guān)系問(wèn)題,常聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程,利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題,該題(2)采用向量求解簡(jiǎn)化了運(yùn)算量,該題是壓軸題.

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(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)與直線OP平行的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求△PAB面積的最大值.

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(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線l:y=kx+$\sqrt{3}$與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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16.設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$的焦點(diǎn)為F1、F2,直線L過(guò)點(diǎn)F1,且與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),則△ABF2的周長(zhǎng)為(  )
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3.已知:橢圓C的對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn),其中一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,2),左焦點(diǎn)F(-2$\sqrt{2}$,0).
(1)求橢圓的方程
(2)是否存在過(guò)點(diǎn)B(0,-2)的直線l,使直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M、N,并且|AM|=|AN|?若存在,求出l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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