Question

已知圓的方程為，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為,直線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)。

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

（1）；（2）1

【解析】

試題分析：（1）由題意：一條切線(xiàn)方程為：x=2，設(shè)另一條切線(xiàn)方程為：y-4=k(x-2)

則：，解得：，此時(shí)切線(xiàn)方程為：

由聯(lián)立得： ，則直線(xiàn)AB的方程為x+2y-2=0

令x=0，解得y=1，∴b=1；令y=0,得x=2,∴a=2

故所求橢圓方程為

（2）聯(lián)立 ，整理得，

設(shè)，則，

，即：

又原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為，∴

∴

當(dāng)且僅當(dāng) ，即時(shí)取等號(hào)，則△OPQ面積的最大值為1．

考點(diǎn)：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，橢圓的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系