Question

已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)＝kf(x＋2)，其中常數(shù)k為負(fù)數(shù)，且f(x)在區(qū)間[0,2]上有表達(dá)式f(x)＝x(x－2)．

(1)求f(－1)，f(2.5)的值；

(2)寫出f(x)在[－3,3]上的表達(dá)式，并討論函數(shù)f(x)在[－3,3]上的單調(diào)性．

Answer 1

 (1)由f(－1)＝kf(1)，f(2.5)＝f()知需求f()和f(1)，f(1)＝－1，f()＝×(－2)＝－，

∴f(－1)＝－k，f(2.5)＝－

(2)∵0≤x≤2時(shí)，f(x)＝x(x－2)，

設(shè)－2≤x<0，則0≤x＋2<2，

∴f(x)＝kf(x＋2)＝k(x＋2)x；

設(shè)－3≤x<－2，則－1≤x＋2<0，

∴f(x)＝kf(x＋2)＝k²(x＋4)(x＋2)；

設(shè)2<x≤3，則0<x－2≤1，

∵f(x)＝kf(x＋2)，∴f(x－2)＝kf(x)，

∴f(x)＝f(x－2)＝(x－2)(x－4)．

綜上可知，f(x)＝

∵k<0，∴由二次函數(shù)的知識(shí)知：f(x)在[－3，－2)上是增函數(shù)，在[－2，－1)上是增函數(shù)，在[－1,0)上是減函數(shù)，在[0,1)上是減函數(shù)，在[1,2]上是增函數(shù)，在(2,3]上是增函數(shù)，又各區(qū)間都可以是閉區(qū)間，∴f(x)在[－3，－1]上是增函數(shù)，在[－1,1]上是減函數(shù)，在[1,3]上是增函數(shù)．