Question

2．已知：四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點，且$\frac{BF}{BC}$=$\frac{DG}{DC}$=$\frac{2}{3}$，求證：直線FE、GH、AC交于一點．

Answer 1

分析 證明四邊形EFGH是梯形，得出EF，HG相交于一點，再利用面面相交即可證明直線FE、GH、AC交于一點．

解答 證明：連接BD，∵E，H分別是邊AB，AD的中點，
∴EH∥BD；…（2分）
又∵$\frac{BF}{BC}$=$\frac{DG}{DC}$=$\frac{2}{3}$，∴FG∥BD；…（4分）
因此EH∥FG且EH≠FG；…（6分）
故四邊形EFGH是梯形；
所以EF，HG相交，設(shè)EF∩HG=K，…（8分）
∵K∈EF，EF?平面ABC，
∴K∈平面ABC；
同理K∈平面ACD，…（10分）
又平面ABC∩平面ACD=AC，∴K∈AC，
故直線FE、GH、AC交于一點．…（12分）

點評 本題考查了證明三線相交的應(yīng)用問題，通常是先證明兩線交于一點，再證第三條直線過交點即可．