Question

對于給定的以下四個命題：
①函數(shù)f(x)=

x2-2x

x-2

是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函數(shù)，若x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），且x₁＜x₂則一定有f（x₁）＜f（x₂）；
③函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)有f(x)=

x

+1，則當(dāng)x＜0，f（x）=-

-x

-1；
④函數(shù)y=x+

1-2x

的值域?yàn)閧y|y≤1}．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①求出函數(shù)f(x)=

x2-2x

x-2

的定義域，即可判定f（x）不是奇函數(shù)；
②舉例說明命題不成立即可；
③由題意，利用奇偶性以及x＞0時(shí)f（x）的解析式，求出x＜0時(shí)f（x）的解析式；
④用換元法，設(shè)t=

1-2x

，求出函數(shù)y在某一區(qū)間上的最值即得值域．

解答： 解：①∵函數(shù)f(x)=

x2-2x

x-2

的定義域是{x|x≠2}，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴f（x）是非奇非偶的函數(shù)，
∴命題①錯誤；
②當(dāng)f（x）=-

1

x

時(shí)，f（x）在（-∞0）（0+∞）上都是增函數(shù)，
且-1＜1，但f（-1）=1，f（1）=-1，
∴命題②錯誤；
③根據(jù)題意，當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∴f（-x）=

-x

+1；
又f（x）在R上是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-

-x

-1，
∴命題③正確；
④設(shè)t=

1-2x

，∴x=

1

2

（1-t²），（其中t≥0）；
∴函數(shù)可化為y=

1

2

（1-t²）+t=-

1

2

t²+t+

1

2

=-

1

2

（t-1）²+1，
∵t≥0，∴當(dāng)t=1時(shí)，y有最大值1；
∴函數(shù)y的值域?yàn)閧y|y≤1}．
所以，以上正確的命題序號為③④；
故答案為：③④．

點(diǎn)評：本題通過命題真假的判定，考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性以及求函數(shù)的值域問題，是綜合題．