Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+3}}（{n∈{N^*}}）$．
（1）求證：$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=（3ⁿ-2）•$\frac{n}{2^n}•{a_n}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若不等式（-1）ⁿ•λ＜T_n+$\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$對一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+3}}（{n∈{N^*}}）$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=1+$\frac{3}{{a}_{n}}$，化簡得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}$=3（$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$），數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$以$\frac{3}{2}$為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
（2）{b_n}的通項(xiàng)公式$_{n}=\frac{2}{{2}^{n-1}}$，前n項(xiàng)和為T_n，T_n=1×$\frac{1}{{2}^{0}}$+2×$\frac{1}{{2}^{1}}$+3×$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，采用乘以公比錯位相減法，求得T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，λ＜3，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，λ＞-2，
綜上得：-2＜λ＜3．

解答 證明：（1）由${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$＜0，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=1+$\frac{3}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}$=3（$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$），$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$以$\frac{3}{2}$為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×$3^n-1=$\frac{{3}^{n}}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{{3}^{n}-1}$，
（2）$_{n}=\frac{2}{{2}^{n-1}}$，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，T_n=1×$\frac{1}{{2}^{0}}$+2×$\frac{1}{{2}^{1}}$+3×$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
兩式相減：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
（-1）ⁿ•λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，λ＜3，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，-λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，-λ＜2，λ＞-2，
∴-2＜λ＜3．

點(diǎn)評 本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，采用乘以公比錯位相減法，求前n項(xiàng)和，屬于中檔題．