Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F₁（0，-2

2

），又過(guò)點(diǎn)（-1，0），且離心率e滿(mǎn)足

2

3

，e，

4

3

成等比數(shù)列．
（1）求橢圓的方程；
（2）試問(wèn)是否存在直線(xiàn)l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線(xiàn)段MN恰被直線(xiàn)x=-

1

2

平分？若存在，求出l的傾斜角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用離心率e滿(mǎn)足：

2

3

，e，

4

3

成等比數(shù)列，可求離心率，結(jié)合焦點(diǎn)F₁（0，-2 

2

），求出幾何量，即可求橢圓方程；
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)l，設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合根的判別式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）依題意，∵

2

3

，e，

4

3

成等比數(shù)列，∴e=

2 2

3

．
又F₁（0，-2

2

），c=2

2

，∴a=3，
∴b=

a2-c2

=1，
∴所求方程為x²+

1

9

y²=1，（-1，0）滿(mǎn)足橢圓方程，
∴所求方程為x²+

1

9

y²=1．
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)l，依題意l交橢圓所得弦MN被x=-

1

2

平分，
∴直線(xiàn)l的斜率存在．
設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m，則
由

y=kx+m x2+ 1 9 y2=1

消去y，整理得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0
∵l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即m²-k²-9＜0①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

2km

k2+9

∴

x1+x2

2

=

-km

k2+9

=-

1

2

，∴m=

k2+9

2k

②
把②代入①式中得(

k2+9

2k

)2-（k²+9）＜0
∴k＞

3

或k＜-

3

∴直線(xiàn)l傾斜角α∈（

π

3

，

π

2

）∪（

π

2

，

2π

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．