Question

已知點M（-5，0），F(xiàn)（1，0），點K滿足

MK

=2

KF

，P是平面內(nèi)一動點，且滿足|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

，
（Ⅰ）求P點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過Q（4，0）的直線l交C于A點（A在第一象限）．問：是否存在垂直于x軸的直線l′，使其被以AQ為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出直線l′的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）先確定K的坐標，再利用|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

，即可求P點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）因為P在（Ⅰ）中的拋物線上，設(shè)出A的坐標，求出AQ的中點坐標，利用弦心距公式列式求出以AQ為直徑的圓與直線x=a的相交弦長，由弦長為定值可求得定值a的值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)K（x₀，y₀），P（x，y），
∵M（-5，0），F(xiàn)（1，0），

MK

=2

KF

，
∴（x₀+5，y₀）=2（1-x₀，-y₀），
∴x₀=-1，y₀=0，∴K（-1，0），
∵|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

，
∴2

(x-1)2+y2

=（-1-x₀，-y₀）•（-2，0）
∴

(x-1)2+y2

=1+x，即y²=4x；
（Ⅱ）設(shè)A（x，y），∵Q（4，0），
∴以AQ為直徑的圓的圓心即AQ的中點T（

x

2

+2，

y

2

），
以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長：
L=2

( x 2 +2-4)2+ y2 4 -( x 2 +2-a)2

=

(a-3)x+4a-a2

，
若a為常數(shù)，則對于任意實數(shù)x，L為定值的條件是a-3=0，即a=3時，L=

3

．
∴存在定直線x=3，以AQ為直徑的圓與直線x=3的相交弦長為定值

3

．

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了直線與圓的關(guān)系，訓練了利用弦心距求弦長，是有一定難度題目．