Question

16．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，n∈N^*，公差d≠0，S₃=15，已知a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_2ⁿ=2ⁿ⁺¹+1，運(yùn)用分組求和的方法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到T_n．

解答 解：（I）依題意，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
即有a₄²=a₁a₁₃，
則$\left\{\begin{array}{l}3{a_1}+\frac{3×2}{2}d=15\\{（{a_1}+3d）^2}={a_1}（{a_1}+12d）.\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=2.\end{array}\right.$，
因此a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
即a_n=2n+1．
（Ⅱ）依題意，${b_n}={a_{2^n}}=2×{2^n}+1={2^{n+1}}+1$．
T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2²+1）+（2³+1）+…+（2ⁿ⁺¹+1），
=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹+n=$\frac{{4（1-{2^n}）}}{1-2}+n$=2ⁿ⁺²+n-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．