Question

若橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e為

3

5

，且橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y²=-12x的焦點(diǎn)重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（2，0），點(diǎn)Q是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)|MQ|最小時(shí)，試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（m，0）為橢圓C長(zhǎng)軸（含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)斜率為k的直線l交橢圓與A，B兩點(diǎn)，若|PA|²+|PB|²的值僅依賴于k而與m無(wú)關(guān)，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件得

c a = 3 5 c=3

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)Q（x，y），|MQ|²=

9

25

x2-4x+20，由對(duì)稱軸x=

50

9

＞5，當(dāng)|MQ|最小時(shí)，能求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（m，0），（-5≤m≤5），直線l：y=k（x-m），由

y=k(x-m) x2 25 + y2 16 =1

，利用韋達(dá)定理推導(dǎo)出|PA|²+|PB|²=(k2+1)•

(512-800k2)m2+800(16+25k2)

(25k2+16)2

，由|PA|²+|PB|²的值僅依賴于k而與m無(wú)關(guān)，得512-800k²=0，由此能求出k．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e為

3

5

，
且橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y²=-12x的焦點(diǎn)重合．

c a = 3 5 c=3

，解得a=5，c=3，∴b²=25-9=16，
∴橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．
（2）設(shè)Q（x，y），∵點(diǎn)Q是橢圓上一點(diǎn)，∴-5≤x≤5，
∴|MQ|²=（x-2）²+y²=x2-4x+4+16-

16

25

x2=

9

25

x2-4x+20，
∵對(duì)稱軸x=

50

9

＞5，
∴當(dāng)x=5時(shí)，|MQ|²取最小值，
∴當(dāng)|MQ|最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（m，0），（-5≤m≤5），直線l：y=k（x-m），
由

y=k(x-m) x2 25 + y2 16 =1

，得x1+x2=

50mk2

25k2+16

，x1x2=-

25m2k2-400

25k2+16

，
∴y₁+y₂=k²（x₁-m）（x₂-m）
=k2x1x2-k2m(x1+x2)+k2m2
=

(16m2-100-50m2k2)k2

25k2+16

，
∴|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y12+（x₂-m）²+y22
=(x1+x2)2-2x1x2-2m(x1+x2)+(y1+y2)2-2y1y2+2m2
=(k2+1)•

(512-800k2)m2+800(16+25k2)

(25k2+16)2

，
∵|PA|²+|PB|²的值僅依賴于k而與m無(wú)關(guān)，
∴512-800k²=0，∴k=±

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．