Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F，y軸右側(cè)的點A在橢圓E上運動，直線MA與圓C：x²+y²=b²相切于點M（x₀，y₀）．
（1）求直線MA的方程；
（2）求證：|AF|+|AM|為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由直線MA與OM垂直，得直線MA的斜率k_MA=-

x0

y0

，由此能求出直線MA的方程．
（2）|AM|=

OA2-OM2

=

x2+y2-b2

=

x2-( b a )2x2

=

cx

a

，|AF|=

(x-c)2+y2

=a-

c

a

x，由此能證明|AM|+|AF|=

cx

a

+a-

cx

a

=a為定值．

解答： （1）解：∵直線MA與圓C：x²+y²=b²相切于點M（x₀，y₀），
∴直線MA與OM垂直，
∵k_OM=

y0

x0

，∴直線MA的斜率k_MA=-

x0

y0

，
∴直線MA的方程：y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀），
整理，得x₀x+y₀y=b²．
（2）|AM|=

OA2-OM2

=

x2+y2-b2

=

x2-( b a )2x2

=

cx

a

，
|AF|=

(x-c)2+y2

=

(x-c)2+b2-( b a )2x2

=

x2-2cx+c2+b2-( b a )2x2

=

x2-2cx+a2-( b a )2x2

=

( c a )2x2-2cx+a2

=

c

a

|x-

a2

c

|=a-

c

a

x，
∴|AM|+|AF|=

cx

a

+a-

cx

a

=a．
∴AF|+|AM|為定值a．

點評：本題考查直線方程的求法，考查兩線段和為定值的證明，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．