Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的四個頂點構成面積為4的四邊形，C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C的上、下頂點分別為A，B，過點T（t，2）（t≠0）的直線TA，TB分別與C相交于P，Q兩點，若△TAB的面積是△TPQ的面積的λ倍，求λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式和準線方程，結合四邊形的面積，橢圓的a，b，c的關系，計算即可得到；
（2）分別求出直線PB，TC的方程，代入橢圓方程，求得交點P，Q的橫坐標，再由三角形的面積公式，結合二次函數(shù)，計算即可得到最大值．

解答 解：（1）由題意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\frac{1}{2}$•2a•2b=4，即有ab=2，
a²-b²=c²，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由A（0，1），B（0，-1），T（t，2），
則直線TA：y=$\frac{1}{t}$x+1，代入橢圓方程可得，（1+$\frac{4}{{t}^{2}}$）x²+$\frac{8}{t}$x=0，
解得x_P=-$\frac{8t}{4+{t}^{2}}$，
直線TB：y=$\frac{3}{t}$x-1，代入橢圓方程可得x_Q=$\frac{24t}{36+{t}^{2}}$，
λ=$\frac{{S}_{△TAB}}{{S}_{△TPQ}}$=$\frac{\frac{1}{2}TA•TB•sin∠ATB}{\frac{1}{2}TP•TQ•sin∠PTQ}$=$\frac{TA•TB}{TP•TQ}$=$\frac{{x}_{T}-{x}_{A}}{{x}_{T}-{x}_{P}}$•$\frac{{x}_{T}-{x}_{B}}{{x}_{T}-xQ}$
=$\frac{t}{t+\frac{8t}{4+{t}^{2}}}$•$\frac{t}{t-\frac{24t}{36+{t}^{2}}}$=$\frac{（{t}^{2}+4）（{t}^{2}+36）}{（{t}^{2}+12）（{t}^{2}+12）}$，
令t²+12=m＞12，則λ=$\frac{（m-8）（m+24）}{{m}^{2}}$=1+$\frac{16}{m}$-$\frac{192}{{m}^{2}}$=-192（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{24}$）²+$\frac{4}{3}$≤$\frac{4}{3}$，
當且僅當m=24，即t=±2$\sqrt{3}$時，取得“=”，
所以λ的最大值為$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得交點，同時考查三角形的面積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．