Question

1．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M是CD的中點．
（1）求BB₁和平面A₁C₁M所成角的余弦值；
（2）在BB₁上找一點N，使得D₁N⊥平面A₁C₁M．

Answer 1

分析 （1）以D為原點建立空間直角坐標系，求出平面A₁C₁M的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{B{B}_{1}}$的坐標，計算cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$＞，則BB₁和平面A₁C₁M所成角的余弦值為$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{B}_{1}}＞}$．
（2）設(shè)N（1，1，t），令$\overrightarrow{{D}_{1}N}$∥$\overrightarrow{n}$求出t即可得出N的位置．

解答 解：（1）以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
設(shè)正方體邊長為1，則A₁（1，0，1），B（1，1，0），M（0，$\frac{1}{2}$，0），C₁（0，1，1），B₁（1，1，1）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-1，$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，1）．
設(shè)平面A₁C₁M的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}M}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{-x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-$\frac{1}{2}$）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\frac{3}{2}$，|$\overrightarrow{B{B}_{1}}$|=1．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{B}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$=-$\frac{1}{3}$．
∴BB₁和平面A₁C₁M所成角的余弦值為$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）D₁（0，0，1）設(shè)N（1，1，t）（0≤t≤1），則$\overrightarrow{{D}_{1}N}$=（1，1，t-1）．
∵D₁N⊥平面A₁C₁M，∴$\overrightarrow{{D}_{1}N}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴t-1=-$\frac{1}{2}$，即t=$\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)N為BB₁中點時，D₁N⊥平面A₁C₁M．

點評 本題考查了線面角的計算，線面垂直的性質(zhì)，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．