Question

4．已知y=f（x）為定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，y=f′（x）是其導(dǎo)函數(shù)，若對任意∈R總有$\frac{f（x）}{f′（x）}$＜$\frac{1}{2017}$，則下列大小關(guān)系一定正確的是（　�。�

• A． f（$\frac{1}{2017}$）＞e•f（0）
• B． f（$\frac{1}{2017}$）＜e•f（0）
• C． f（$\frac{1}{2017}$）＞e²•f（0）
• D． f（$\frac{1}{2017}$）＜e²•f（0）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2017x}}$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)值的大小即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2017x}}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）-2017f（x）}{{2}^{2017x}}$，
由f′（x）＞0，$\frac{f（x）}{f′（x）}$＜$\frac{1}{2017}$，
得f′（x）-2017f（x）＞0，
故g′（x）＞0，g（x）在R遞增，
故g（$\frac{1}{2017}$）＞g（0），
即$\frac{f（\frac{1}{2017}）}{e}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
即f（$\frac{1}{2017}$）＞ef（0），
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．