Question

8．下列命題中正確的有②④．（填上所有正確命題的序號）
①一質(zhì)點(diǎn)在直線上以速度v=3t²-2t-1（m/s）運(yùn)動(dòng)，從時(shí)刻t=0（s）到t=3（s）時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為15（m）；
②若x∈（0，π），則sinx＜x；
③若f′（x₀）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀取得極值；
④已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{-{x^2}+4x}$，則$\int{\begin{array}{l}2\\ 0\end{array}}f（x）dx=π$．

Answer 1

分析 利用定積分的性質(zhì)可判斷①④，對于②構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得單調(diào)區(qū)間，求得最大值，即可判斷，③當(dāng)y=x³，f′（0）=0，單x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn)．

解答 解：由定積分的物理意義可知：從時(shí)刻t=0（s）到t=1（s）時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度為負(fù)，從時(shí)刻t=1（s）到t=3（s）時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度為正，
∴質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程${∫}_{0}^{1}$（|3t²-2t-1|）dx+${∫}_{1}^{3}$（3t²-2t-1）dx=1+16=17（m），故①錯(cuò)誤；
對于②設(shè)y=sinx-x，y′=cosx-1，x∈（0，π），故y′＜0，恒成立，y單調(diào)遞減，故y＜0，恒成立，故sinx＜x，故②正確；
③y=x³，f′（0）=0，單x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；
對于④由定積分的幾何意義可知：令y²=-x2+4x，
∴（x-2）²+y²=4，
${∫}_{0}^{2}f（x）dx$是以（2，0）為圓心，以2為半徑的$\frac{1}{4}$圓的面積，
∴$\int{\begin{array}{l}2\\ 0\end{array}}f（x）dx=π$，故④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評 本題考查定積分的物理意義和幾何意義，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、極值和對極值的判斷，屬于中檔題．