Question

10．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=$\frac{n}{2}$a_n+1（n∈N^*），a₂=2．求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 根據(jù)S_n=$\frac{n}{2}$a_n+1（n∈N^*），a₂=2．求出a₁=1，遞推得出S_n=$\frac{n}{2}$a_n+1①，S_n-1=$\frac{n-1}{2}$a_n②化簡得出$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$，運用$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，$\frac{{a}_{2}}{2}$=1，可判斷求解a_n=n．證明即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{n}{2}$a_n+1（n∈N^*），a₂=2．
∴a₁=$\frac{1}{2}$×a₂=1，
S_n=$\frac{n}{2}$a_n+1，①
S_n-1=$\frac{n-1}{2}$a_n，②
相減得出：a_n=$\frac{n}{2}$a_n+1-$\frac{n-1}{2}$a_n，$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，$\frac{{a}_{2}}{2}$=1，
∴$\frac{n+1}{2}$a_n=$\frac{n}{2}$a_n+1，
即$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$，
數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列，公差為0，首項為1，即常數(shù)列．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，即a_n=n．
∵a_n+1-a_n=n+1-n=1，為常數(shù)．
故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式，等差數(shù)列的定義的運用，構(gòu)造思想，屬于中檔題，但是化簡難度不大．