【題目】已知橢圓過點,離心率為.

(1)求橢圓的標準方程;

2)過橢圓的上頂點作直線交拋物線兩點, 為原點.

①求證: ;

②設(shè)分別與橢圓相交于、兩點,過原點作直線的垂線,垂足為,證明: 為定值.

【答案】(1);(2見解析

【解析】試題分析:1根據(jù)橢圓過定點以及橢圓的離心率可得,解得的值,由橢圓的定義可得的值的值代入橢圓方程即可得答案;2設(shè)過橢圓的上頂點的直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,設(shè)出點的坐標,由根與系數(shù)的關(guān)系分析計算的值由向量數(shù)量積的性質(zhì)可得證明;直線 與拋物線聯(lián)立,由韋達定理及平面向量數(shù)量積公式可得, 的等量關(guān)系,結(jié)合點到直線距離公式可得結(jié)果.

試題解析(1) ,所以,解得,

所以橢圓的方程為

2證明:設(shè)、,依題意,直線一定有斜率的方程為,

聯(lián)立方程消去 ,,又,,

證明:設(shè),直線的方程為,,,聯(lián)立方程消去 ,

,

,即. 所以為定值.

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.

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