Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）若f（m+1）+f（2m-3）＜0，求m的取值范圍．
（參考公式：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²））

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），可得f（x）是R上的奇函數(shù)
（2）設(shè)R上任意實(shí)數(shù)x₁、x₂滿(mǎn)足x₁＜x₂，再用單調(diào)性的定義證明．
（3）f（m+1）+f（2m-3）＜0，可化為f（m+1）＜-f（2m-3）=f（3-2m），再由函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，得m+1＜3-2m．

解答： 解：（1）f（x）是R上的奇函數(shù)
證明：∵f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函數(shù)
（2）設(shè)R上任意實(shí)數(shù)x₁、x₂滿(mǎn)足x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+[（x₁）³-（x₂）³]=（x₁-x₂）[（x₁）²+（x₂）²+x₁x₂+1]=（x₁-x₂）[（x₁+

1

2

x₂）²+

3

4

x₂²+1]＜0恒成立，
因此得到函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)．
（3）f（m+1）+f（2m-3）＜0，可化為f（m+1）＜-f（2m-3），
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴-f（2m-3）=f（3-2m），
∴不等式進(jìn)一步可化為f（m+1）＜f（3-2m），
∵函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，
∴m+1＜3-2m，
∴m＜

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點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性、解不等式等知識(shí)，屬于中檔題．