Question

11．已知（log_ab）²+${2}^{lo{g}_a}$=$\frac{17}{4}$，且a＞b＞1，能否確定a^-a和b^-2b的大小關(guān)系？若能，比較其大��；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 設(shè)x=log_ba，得到f（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{17}{4}$，f（2）=0，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，且f（2）=0，從而得到$lo{g}_a=2，a={^{2}}_{\;}$，由此能確定a^-a和b^-2b的大小關(guān)系．

解答 解：設(shè)x=log_ba，由a＞b＞1，得x＞1，
∵（log_ab）²+${2}^{lo{g}_a}$=$\frac{17}{4}$，且a＞b＞1，
∴$\frac{1}{{x}^{2}}+{2}^{x}=\frac{17}{4}$，
令f（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{17}{4}$，則f（2）=0，
∴$lo{g}_a=2，a={^{2}}_{\;}$，
${a}^{-a}=（^{2}）^{-^{2}}=^{-2^{2}}$，
∵b＞1，∴-2b²＜-2b，
∴a^-a＜b^-2b．

點評 本題考查兩個數(shù)的大小的比較，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意換元法、構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．