Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|+a|x-3|
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的最小值，并指出取得最小值時(shí)x的值；
（Ⅱ）若a≥1，討論關(guān)于x的方程f（x）=a的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，即可得到最小值和相應(yīng)x的范圍；
（Ⅱ）$a=\frac{{|{x+2}|}}{{1-|{x-3}|}}$，設(shè)g（x）=$\frac{{|{x+2}|}}{{1-|{x-3}|}}$，運(yùn)用分段函數(shù)的形式求出g（x），并求得各段的值域，對(duì)a討論，即可得到解的個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）∵|x+2|+|x-3|≥|（x-2）-（x-3）|=5，
∴f（x）_min=5，
當(dāng)且僅當(dāng)（x+2）（x-3）≤0，即有-2≤x≤3時(shí)f（x）取最小值；
（Ⅱ）$a=\frac{{|{x+2}|}}{{1-|{x-3}|}}$，設(shè)g（x）=$\frac{{|{x+2}|}}{{1-|{x-3}|}}$，
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{x+2}{x-2}，x≤-2\\ \frac{x+2}{x-2}，-2＜x≤3\\ \frac{x+2}{4-x}，x＞3\end{array}\right.$，可知，
當(dāng)x≤-2時(shí)，g（x）=-1-$\frac{4}{x-2}$遞增，有g(shù)（x）≤0；
當(dāng)-2＜x≤3時(shí)，g（x）=1+$\frac{4}{x-2}$，有g(shù)（x）≤0或g（x）≥5；
當(dāng)x＞3時(shí)，g（x）=-1-$\frac{6}{x-4}$，有g(shù)（x）＞5或g（x）＜-1．
故當(dāng)a＞5時(shí)，原方程有2個(gè)解；
當(dāng)a=5時(shí)，原方程有1個(gè)解；
當(dāng)1≤a＜5時(shí)，原方程有0個(gè)解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)的運(yùn)用，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．