Question

14．已知等比數(shù)列{a_n}的公比為q（0＜q＜1），且a₂+a₅=$\frac{9}{8}$，a₃a₄=$\frac{1}{8}$．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）若b_n=a_n•（log₂a_n），求b_n的前n項和T_n；
（III）設(shè)該等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，正整數(shù)m，n滿足$\frac{{S}_{n}-m}{{S}_{n+1}-m}$＜$\frac{1}{2}$，求出所有符合條件的m，n的值．

Answer 1

分析 （I）由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a₃a₄=a₂•a₅=$\frac{1}{8}$，a₂+a₅=$\frac{9}{8}$，a₂，a₅是方程：x²-$\frac{9}{8}$x+$\frac{1}{8}$=0，代入即可求得a₂=1，a₅=$\frac{1}{8}$，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，求得q，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）由（I）可知：${b_n}={a_n}•（{{{log}_2}{a_n}}）=\frac{{（{2-n}）}}{{{2^{n-2}}}}$，利用“錯位相減法”即可求得b_n的前n項和T_n；
（III）求得等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，代入$\frac{{S}_{n}-m}{{S}_{n+1}-m}$＜$\frac{1}{2}$，由2ⁿ為偶數(shù)，可知：2ⁿ（4-m）=4，即可求得m，n的值．

解答 解：（I）由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a₃a₄=a₂•a₅=$\frac{1}{8}$，a₂+a₅=$\frac{9}{8}$，
∴a₂，a₅是方程x²-$\frac{9}{8}$x+$\frac{1}{8}$=0，
由題意可知：a₂＞a₅，
解得：a₂=1，a₅=$\frac{1}{8}$，
由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a₅=a₂•q³，解得q=$\frac{1}{2}$，
a_n=a₂•（$\frac{1}{2}$）^n-2=（$\frac{1}{2}$）^n-2；
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^{n-2}}$------------------------------------------------------（4分）
（II）由（I）可知：${b_n}={a_n}•（{{{log}_2}{a_n}}）=\frac{{（{2-n}）}}{{{2^{n-2}}}}$，
b_n的前n項和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=2+0+（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{2}{{2}^{2}}$）+（-$\frac{3}{{2}^{3}}$）+…+$\frac{n-2}{{2}^{n-2}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1+0+（-$\frac{1}{{2}^{2}}$）+（-$\frac{2}{{2}^{3}}$）+（-$\frac{3}{{2}^{4}}$）+…+$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
兩式相減可得：$\frac{1}{2}$T_n=1-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）-$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
=1-$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
=1-（1-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）-$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$
∴${T_n}=\frac{n}{{{2^{n-2}}}}$；---------------------------（9分）
（III）、${S_n}=4（{1-\frac{1}{2^n}}）$，由$\frac{{{S_n}-m}}{{{S_{n+1}}-m}}＜\frac{1}{2}⇒2＜{2^n}（{4-m}）＜6$-------------------（11分）
2ⁿ（4-m）為偶數(shù)，
因此只能取2ⁿ（4-m）=4，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2^n}=2\\ 4-m=2\end{array}\right.∨\left\{\begin{array}{l}{2^n}=4\\ 4-m=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}n=1\\ m=2\end{array}\right.∨\left\{\begin{array}{l}n=2\\ m=3\end{array}\right.$---------------------------------------（15分）

點評 本題考查等比數(shù)列性質(zhì)，通項公式及前n項和公式，考查“錯位相減法”求數(shù)列的前n項和，考查數(shù)列與不等式的綜合，不等式的解法及應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．