Question

學(xué)校為擴(kuò)大規(guī)模，把后山一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地．已知AB⊥BC，OA∥BC，AB=BC=2OA=40m，曲線(xiàn)段OC是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)且開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)的一段（如圖所示）．如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB，BC上，且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線(xiàn)段OC上，問(wèn)應(yīng)如何規(guī)劃才能使運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積最大？

Answer 1

分析：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線(xiàn)段OC所在的拋物線(xiàn)方程，利用點(diǎn)C的坐標(biāo)為（20，40），求出拋物線(xiàn)的方程，進(jìn)而可表示矩形的面積，利用導(dǎo)數(shù)的方法，即可求得結(jié)論．

解答：解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)曲線(xiàn)段OC所在的拋物線(xiàn)方程為y=ax²（a＞0）…（2分）

由已知得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（20，40），代入方程得a=

1

10

∴拋物線(xiàn)的方程為y=

1

10

x2…（4分）
設(shè)矩形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)在曲線(xiàn)段OC上的頂點(diǎn)（x，

1

10

x2），則矩形面積

S=(20+x)(40- 1 10 x2)

=

- 1 10 x3-2x2+40x+800(0≤

x＜20)…（6分）
∴S′=-

1

10

(x+20)(3x-20)
令S′=0，可得x=-20或x=

20

3

∵0≤x＜20，∴x=

20

3

當(dāng)0＜x＜

20

3

時(shí)，S′＞0；當(dāng)x＞

20

3

時(shí)，S′＜0
∴x=

20

3

是S的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)…（11分）
答：當(dāng)矩形的長(zhǎng)為

80

3

m．寬為

320

9

m時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積最大…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用導(dǎo)數(shù)法求最值，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的模型，屬于中檔題．