Question

已知函數(shù)f (x)=ax2+2x,g(x)=ln x.

(1) 如果函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2) 是否存在實(shí)數(shù)a>0,使得方程=f'(x)-(2a+1)在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?若存在,請(qǐng)求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

 (1) 當(dāng)a=0時(shí),f(x)=2x在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),不符合題意.

當(dāng)a>0時(shí),y=f(x)的對(duì)稱軸方程為x=-,所以y=f(x)在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),不符合題意.

當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),則-≤1,解得a≤-2.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2].

(2) 將方程=f'(x)-(2a+1)整理為=ax+2-(2a+1),即為方程ax2+(1-2a)x-ln x=0.

設(shè)H(x)=ax2+(1-2a)x-ln x(x>0),原方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即為函數(shù)H(x)在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

H'(x)=2ax+(1-2a)-==.

令H'(x)=0,因?yàn)閍>0,解得x=1或x=-(舍去).

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),H'(x)<0,H(x)是減函數(shù);

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),H'(x)>0,H(x)是增函數(shù).

H(x)在內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn),只需

即

所以解得1<a<,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,.